【夏休み特集：超・高校物理②】宇宙で、いちばん外れた予測 ／［中編］紙1枚で、最先端に追いつく

前編まで ── 第1幕で $E=mc^2$ を両替レートと読み替え、第2幕で時空のいわば “最小の単位” $L_p,\ T_p$ を掴んだ。ここからは天井、そして120桁の怪物の中身へと進む。

第 3 幕

宇宙の“天井”を、ひとまず決める

第2幕で、宇宙の底に触れた。プランク長 $L_p \sim 10^{-35}\,\mathrm{m}$ ―― 前編で見た、時空の“最小の単位”（証明された最小長さではなく、比喩としての、だ）。

次は天井。宇宙の“いちばん大きい側”の代表スケールを、同じ武器で探ってみよう。

ただし、ここで一つ問題がある。$L_p$ は、$c,\ \hbar,\ G$ という三つの定数だけから出た。宇宙を一度も測らずに、紙の上だけで。

だが、宇宙で一番大きい長さは、そうはいかない。定数だけからは出てこない。今度は一度、宇宙を測ってこないといけない。観測が必要だ。

測ってくる数字は、一つだけでいい。宇宙が膨らむ速さだ。遠くの銀河はどれも僕たちから遠ざかっていて、遠い銀河ほど速く逃げる。その「距離あたり、どれだけの速さで遠ざかるか」の割合が、ハッブル定数 $H$。単位は $[\mathrm{1/s}]$（毎秒）。

観測された値は、およそ、

$H \sim 2\times10^{-18}\ [\mathrm{1/s}]$

さて、この $H$ を長さに両替する。手元にあるのは $H\ [\mathrm{1/s}]$ と、光速 $c\ [\mathrm{m/s}]$。この二枚で長さ $[\mathrm{m}]$ を作る道は、掛け算・割り算だけなら、またしても一つ。$c$ を $H$ で割る。

$$L_H = \frac{c}{H} \sim 10^{26}\,\mathrm{m}$$

これがハッブル半径 ―― 膨張率 $H$ から作られる、宇宙論的な“代表サイズ”だ。数字の感触も掴んでおこう。$1/H$ は、桁で言えばおよそ宇宙の年齢（約140億年）ぐらい（ぴったり等しいわけではなく、たまたま近い）。その時間の間に、光が進む距離が $c/H \sim 10^{26}\,\mathrm{m}$ になる。

ただし、$c/H$ は「観測できる宇宙の端」でも「宇宙の壁」でもない。実際、僕たちはハッブル半径より遠くの銀河を現に観測しているし、いま光速を超える速さで遠ざかっている銀河の光さえ受け取っている（膨張する宇宙では「光速より速く遠ざかる」ことと「光が届かない」ことは別なのだ）。宇宙には、ハッブル半径のほかにも粒子的地平線・未来事象地平線など、考え方の違う“果て”が何本もある。$c/H$ は、その中でいちばんわかりやすい一本を、ひとまず代表に選んだだけ ―― 「ひとまず」だということを忘れないように。

ともあれ、役者は二本そろった。

時空の最小スケール $L_p$ と、宇宙論的な代表スケール $L_H$。片方は定数だけで、片方は宇宙を一度測って。

二つの端の比を取ってみよう。

$$\frac{L_H}{L_p} \sim \frac{10^{26}}{10^{-35}} = 10^{61}$$

〔 図：対数目盛りのスケール梯子。左端に $L_p\sim10^{-35}\,\mathrm{m}$（プランク長）、
右端に $L_H\sim10^{26}\,\mathrm{m}$（ハッブル半径）。その間に原子・人間・地球・銀河などが配置される。全体の幅は「約61桁」となる 〕

プランク長からハッブル半径まで、$10^{61}$ 倍 ―― 約61桁のひらきがある。この $10^{61}$ という数を、覚えておいて欲しい。次の幕で、鍵となるから。

第 4 幕

120桁の、正体

この講座② [前編] の冒頭で話した、怪物の話を思い出してくれ。理論と観測が120桁ずれると言った。 ―― そのずれているものは何なのかを、はっきりさせよう。それは「真空のエネルギー密度」だ。

第2幕の最後で立てた問い ―― “空っぽの空間そのもの”は、エネルギーを持つのか? ―― に、現代物理は持ちうると答える。物質が一個もない真空にも、そこに“時空がある”というだけで、エネルギーが宿りうる。その密度が「真空のエネルギー密度」だ。そして、宇宙を加速させているダークエネルギーの最も標準的な候補が、この真空エネルギーだと考えられている。

問題は、このたった一つの量を見積もるのに、窓口が二つあって、答えが食い違うことだ。そう、第1幕から君に覚えておいてもらった、あの手法 ―― 一つの量を、二つの窓口から覗く。今度の二窓は「理論の素朴な見積もり」と「観測」だ。

（以下、密度は $c^2$ で割った“質量換算密度” $[\mathrm{kg/m^3}]$ で表示する。エネルギー密度 $[\mathrm{J/m^3}]$ が欲しければ、$c^2$ を掛け戻せばいい。）

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窓口 B ／ 理論の素朴な見積もり（量子ゆらぎ）

量子場の考え方では、空っぽの真空も静止していない。あらゆる場が絶えず微小に震えている（零点ゆらぎ）。真空は、沸騰している。この震えのエネルギーが、宇宙の最小の升目 $L_p$ に存在しているとする。升目一つが背負うエネルギーは、第1幕①の $E\sim\hbar c/L_p$（プランクエネルギー、約 $2\times10^{9}\,\mathrm{J}$、質量換算で $m_p\sim2\times10^{-8}\,\mathrm{kg}$）。それを升目の体積 $L_p^{3}$ に詰めると、

$\rho_{\text{理論}} \sim \dfrac{m_p}{L_p^{3}} \sim 10^{96}\ \mathrm{kg/m^3}$（素朴にもとめたプランク評価。超高密度）

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窓口 A ／ 観測（ダークエネルギー）

いっぽう、現実の宇宙を測る。宇宙は加速膨張していて、その加速を生んでいる真空のエネルギー密度（ダークエネルギー）を、観測から逆算できる。答えは、スカスカだと出る。

$\rho_{\text{観測}} \sim 10^{-26}\ \mathrm{kg/m^3}$（同じく質量換算）

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同じ「真空のエネルギー密度」。理論の窓口は $10^{96}$、観測の窓口は $10^{-26}$ と言う。理論は「真空はこれだけ濃いはずだ」と予想し、観測は「実際にはこれだけしかない」と報告してくる。両者を割り算してみる。

$$\frac{\rho_{\text{理論}}}{\rho_{\text{観測}}} \sim \frac{10^{96}}{10^{-26}} = 10^{122}$$

$122$ 桁。これが史上最悪の予測、120桁のバケモノの正体だ。2桁さえも誤差になるくらい圧倒的だ。素朴に見積もった真空の濃さが、これだけ現実と食い違う。物理学者はこれを見て、半世紀以上、頭を抱えてきた。

だが ―― ここで、第2幕と第3幕を思い出してほしい。

僕たちはもう、時空の最小スケール $L_p$ と、宇宙論的な代表スケール $L_H$ を握っている。その比は、さっき手に入れた $L_H/L_p \sim 10^{61}$。そして、

$$10^{122} = \left(10^{61}\right)^2 = \left(\frac{L_H}{L_p}\right)^{2}$$

これはどういうことか

$122$ 桁のギャップは、無秩序な巨大数なんかじゃない。ハッブル半径とプランク長の比の、ちょうど2乗として書き直せる。

桁で言えば $(10^{61})^2 = 10^{122}$、ぴたりだ。

ただし、はっきりさせておく。これは“解けた”わけじゃない。巨大なズレを、宇宙論的な長さとプランク長の階層（比）として書き換えただけだ。答えはまだ出ていない。それでも ―― 無秩序に見えた120桁に隠れた構造があると分かったのは、大きい。

紙1枚と、三つの定数と、宇宙を一度だけ測った数字。それだけで、君は史上最悪の予測を、きれいな“比の2乗”に書き換えるところまで来た。計算技術で最先端に並んだわけじゃないけれど、 ―― 最先端が“何を問題にしているか”、その入口に触れた。

――と、胸を張りたいところだが。

ここで立ち止まれる学生だけが、本物だ。

ズレは「長さの比の2乗」で書けた ―― でも、この $2$ という乗数は、何を意味しているんだ？ 試しに、宇宙を $L_p$ の升目で埋め尽くしたときの“升目の個数”を数えてみよう。それは体積の比、つまり長さ比の3乗 $(L_H/L_p)^3 = 10^{183}$ になるはずだ。ところが、実際に出てきたズレは $10^{122}$ ―― 升目の“個数”（3乗）ではなく、まるで宇宙を包む“面”の広さ（2乗）のように振る舞っている。

この2乗に、物理的な意味を与えられるだろうか? ―― これが本物の問いだ。そして、この問いに一つの答えを出そうとしているのが、後編で会う考え方になる。

そしてもう一つ。君はさっき第3幕で、宇宙の代表スケールを $L_H = c/H$ と、ひとまず選んだ。ハッブル半径・粒子的地平線・未来事象地平線 ―― “果て”の候補は何種類もあったのに、我々は、ひとつだけを選んだ。……本当に、それでよかったのか？

この二つの引っかかり ―― なぜ2乗なのか、そしてひとまず選んだ、あの長さ ―― の中に、何十年ぶんの難問と、君を待ち受けている沼の入口が、静かに隠れている。

紙1枚で、君は最先端に追いついた ―― ように、見えた。

でも、その答えは ―― まだ、誰も知らない。

〔 後編：でも、その答えは誰も知らない ―― へ続く 〕

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補 足 ／ 「真空が沸騰している」って、比喩?

零点ゆらぎは、実在する

「空っぽの真空が震えている」なんて、詩的な言い回しに聞こえるかもしれない。だが、比喩じゃない。金属板を2枚ぴったり近づけると、板の間と外で真空の“震え方”に差が出て、板が実際に引き合う（カシミール効果）。真空のゆらぎが実在することの、動かぬ証拠だ。ただし注意 ―― カシミール効果が測っているのは、境界条件によるエネルギーの“差”であって、「真空エネルギーの絶対値が、そのまま重力を生む」ことまで測ったわけじゃない。その絶対値がどう効くかこそ、宇宙定数に関する未解決の問題そのものだ。

そしてもう一つ。升目 $L_p$ まで足して $10^{96}$、という「$10^{96}$」は、いちばん素朴なやり方の答えにすぎない。本当の宇宙定数問題は、この巨大な値を、別の項（裸の宇宙定数や量子補正）で120桁ぶんも精密に打ち消さないといけないという“不自然さ”のほうにある。ここを真面目にやろうとした瞬間、物理学は泥沼に足を踏み入れる。この記事が“桁だけで戦う”のは、その泥沼を横目に、ゴールの場所だけ先に探れるからだ。そこに何が潜んでいるかは、後編で覗く。

【夏休み特集：超・高校物理②】宇宙で、いちばん外れた予測 ／［前編］E=mc^2 を、もう一度読む

「宇宙の真空には、エネルギーがぎっしり詰まっている」。量子力学はそう言う。

じゃあその密度は、といちばん素朴に計算してみると ―― 実際に観測される宇宙と、桁が120個ずれる。パーセントの誤差じゃない。桁が、120個だ。

人類最高の理論が、現実と $10^{120}$ 倍ずれる。ふつうなら「その理論、間違ってるよね」で終わる話だ。でも誰も、この量子論を捨てられない。素粒子の現象を、ものすごい精度で当ててきた理論だからだ。その最強の理論が、真空のエネルギーだけを盛大にハズす。物理学者はこれを“史上最悪の予測”と呼んで、半世紀以上、頭を抱えている。

今日はこの怪物を、君の手で正体まで追いつめる。使う道具は、テストの検算で使うあの地味なやつ ―― 次元解析だけだ。前回の特集（①）は保存則をきっちり連立して厳密解まで出したが、今回の武器は違う。“桁”だけで戦う。答えはいつも「およそ」で、$2\pi$ みたいな係数は最初から狙わない。そのかわりこの武器では、宇宙の一番小さいところと一番大きいところに、手が届く。

第 1 幕

$E=mc^2$ を、もう一度読む

誰でも知っている式から始めよう。$E=mc^2$。世界で一番有名な式だ。有名すぎて、たいていの人は「エネルギーと質量は同じ」という標語として通り過ぎる。でも今日は趣向を変えて、この式の単位に着目してほしい。

左辺 $E$ はエネルギー、単位はジュール $[\mathrm{J}]$。右辺の $m$ は質量、単位はキログラム $[\mathrm{kg}]$。$[\mathrm{J}]$ と $[\mathrm{kg}]$ は、まるで違う物理量だ。

等号で結ぶには、その差を埋める“何か”が要る。それが $c^2$ だ。$c$ は $[\mathrm{m/s}]$ だから $c^2$ は $[\mathrm{m^2/s^2}]$。かけてみる。

$[\mathrm{kg}] \times [\mathrm{m^2/s^2}] = [\mathrm{kg\,m^2/s^2}] = [\mathrm{J}]$

ぴたりとジュールになった。ここで気づいてほしい。

この $c^2$ は、もはや「光速の2乗」という速さの話じゃない。キログラムをジュールに橋渡しする“為替レート”だと捉え直す。（正確に言えば、$E=mc^2$ は「静止した質量 $m$ には、$mc^2$ の静止エネルギーが対応する」という関係で、$1\,\mathrm{kg}$ の静止質量には $9\times10^{16}\,\mathrm{J}$ が対応する。）

この話は、ドルと円の両替に似ている ―― ただし、同じお金の単位換算というより、別々の物理量を $c^2$ という普遍的な定数が結んでいる、と言うほうが正しい。質量は、エネルギーの一つの姿なのだ。

ここで考えをさらに進める。

もし $c^2$ が単位の両替レートなら ―― 宇宙の基本定数というのは、ぜんぶ単位と単位をつなぐ両替レートなんじゃないか？

だとすれば、ある単位の量は、正しい定数を掛けたり割ったりして、好きな単位へ無理やり変換できる。単位さえ合わせにいけば、法則の“形”は勝手に決まってしまう。そう。$E=mc^2$ のように。

これ、物理を学ぶ高校生なら、身に覚えがあるはずだ。

テストで答えを出したあと、単位が合ってるかチェックする、あの地味な検算 ―― 次元解析だ。あれを宇宙に向けて使うと、ダウジングの棒みたいに、本物の物理を手探りできる。

両替に使う定数は三つ。これが宇宙に刻まれた為替レートだ。

― 宇宙の三大両替レート ―

$c$（光速） $[\mathrm{m/s}]$	空間と時間、そして（$c^2$ として）質量とエネルギーを結ぶレート。$E=mc^2$ のあれ。
$\hbar$（プランク定数） $[\mathrm{J\cdot s}]$	量子の世界のレート。「小ささ」をエネルギーに両替する。狭い場所に閉じ込めるほど高くつく、その値段表。
$G$（重力定数） $[\mathrm{m^3/(kg\,s^2)}]$	重力の世界のレート。「質量」を空間の曲がりに両替する。どれだけの質量で空間がどれだけ歪むかを決める。

では、最初の両替をやってみよう。物理の中身はいっさい考えない。単位のつじつまだけで押し切る。お題はこれだ。

問 題

ひとつの長さ $L$（単位 $[\mathrm{m}]$）を、エネルギー（単位 $[\mathrm{J}]$）へ両替せよ。

ただし使ってよい両替レートは、そのつど指定する。

まずは、量子の窓口。使うのは $\hbar$ と $c$ だけとする（重力の $G$ を封印）。長さ $L$ をジュールへ。作りたいのは $E=\hbar^a\,c^b\,L^d$ が $[\mathrm{J}]=[\mathrm{kg\,m^2/s^2}]$ という単位になること。指数 $a,b,d$ を未知数として、$\mathrm{kg}$・$\mathrm{m}$・$\mathrm{s}$ それぞれの単位が合う条件を並べれば、乗数についての連立方程式になり、$a=1,\ b=1,\ d=-1$ と一意に求まる。すなわち、

$$E \;\sim\; \frac{\hbar c}{L}$$

…①

確かめる：$[\mathrm{J\cdot s}]\times[\mathrm{m/s}]\,/\,[\mathrm{m}] = [\mathrm{J}]$。合った。$\hbar$ と $c$ と $L$ を掛け算・割り算だけで組み合わせてジュールを作る道は、これ以外に無い。ほかの組み合わせでは無理。単位が、答えの“形”を一つに縛るのだ。

次に、重力の窓口。今度は $c$ と $G$ だけを使うとする（量子の $\hbar$ を封印）。同じ長さ $L$ をジュールへ。作りたいのは $E=c^a\,G^b\,L^d$ が $[\mathrm{J}]=[\mathrm{kg\,m^2/s^2}]$ になること。乗数についての連立方程式から、$a=4,\ b=-1,\ d=1$ と一意に求まる。すなわち、

$$E \;\sim\; \frac{c^4 L}{G}$$

…②

さて、一息つこう。

ここまで僕たちは物理学の法則を一切考えていない。ただ単位をこねくり回したただけで、長さとエネルギーをつなぐ二つの法則を絞り出した ―― 量子の窓口 ① $\hbar c/L$ と、重力の窓口 ② $c^4 L/G$。

ところが、この落書きみたいな二式は...

正 体

どちらも、本物の物理そのものだった。

① の正体は、大きさ $L$ の中に何かを閉じ込めて“見分ける”のに要るエネルギーの尺度だ。位置を $L$ まで絞ると、不確定性原理で運動量が $p\sim\hbar/L$ まで暴れる（量子論的）。それを $E\sim pc$ でエネルギーに直す（相対論的）。この二つを使って出てくるのが $\hbar c/L$ ―― いわば、局在することのコストである。

② $c^4L/G$ の正体は、係数を別にすれば、シュヴァルツシルト半径が $L$ であるブラックホールの質量エネルギー $Mc^2$ にあたる（正確には $r_s=2GM/c^2$ なので $Mc^2 = c^4L/2G$。桁数では一致する）。

単位でつじつまを合わせただけの計算が、量子力学とブラックホール ―― 現代物理の二大巨頭を召喚してしまった。これが、この記事の“武器”の威力だ。単位には、物理が刻まれている。次元解析は、ただの検算じゃなくて、宇宙の設計図をなぞる鉛筆だ。

そしてもう一つ、今この幕でやった手順そのものを覚えておいてほしい。僕たちは同じ一つの長さを、二つの違う窓口（量子と重力）から値づけした。この“一つの量を、二つの窓口から覗く”やり方こそ、この記事を最後まで貫く道具だ。次の幕では、その二つの窓口を正面からぶつけてみる。

第 2 幕

時空を、エネルギーで値づけする 

さっきの両替で、見落としてほしくない点がある。①も②も、長さをエネルギーにつなげた。エネルギーが、長さを翻訳するときの共通の量になっていた。

もし何もかもを「エネルギー」という一つの通貨で値づけできるなら ―― バラバラに見えた量どうしを、同じ土俵に乗せて、等号で結べる。この“共通通貨”の発想が、次の扉を開ける。

まず、長さでできたことを時間でもやってみよう。時間 $T$（単位 $[\mathrm{s}]$）を、エネルギーへ両替する。

量子の窓口（$\hbar,\,c$）。同様に $E=\hbar^a c^b T^d$ と置いて乗数の連立を解くと、

$$E \;\sim\; \frac{\hbar}{T}$$

…③

重力の窓口（$c,\,G$）。こちらも同様に乗数で連立方程式を解くと、

$$E \;\sim\; \frac{c^5 T}{G}$$

…④

長さのときと、気味が悪いほど同じ構造だ。量子の窓口はいつも「割る」（$1/L,\ 1/T$）、重力の窓口はいつも「掛ける」（$L,\ T$）。片方は小さくするほど高くつき、もう片方は大きくするほど高くつく。

さあ、予告どおり、異なる窓口からの二つの式をつなげよう。

長さには、量子の値づけ①と重力の値づけ②があった。この二つがちょうど同じ値になる特別な長さが、どこかにあるはずだ。①$=$② と置く。

$$\frac{\hbar c}{L} = \frac{c^4 L}{G} \quad\Longrightarrow\quad L^2 = \frac{\hbar G}{c^3}$$

$$L_p = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}$$

時間についても同じように、③$=$④ と置いて解く。

$$\frac{\hbar}{T} = \frac{c^5 T}{G} \quad\Longrightarrow\quad T^2 = \frac{\hbar G}{c^5}$$

$$T_p = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}$$

答

量子の値づけと重力の値づけが釣り合う、たった一点。それが時空の“最小の単位”だ。本物の物理学では下記のように名付けられている。

$L_p = \sqrt{\hbar G/c^3} \approx 1.6\times10^{-35}\,\mathrm{m}$　（プランク長）

$T_p = \sqrt{\hbar G/c^5} \approx 5.4\times10^{-44}\,\mathrm{s}$　（プランク時間）

なぜ「最小」と呼びたくなるのか。$L_p$ より小さいものを覗こうとすると、量子の値段①がどんどん吊り上がり、その上がったエネルギー自身の重力②がブラックホールを作って、覗こうとした対象を呑み込んでしまう ―― 見ようとした瞬間に消える長さ。この見立てに従えば、時間 $T_p$ も同じで、それより短い“一瞬”は意味を失い、物差しの目盛りが尽き、ストップウォッチの針が刻めなくなる。時空の底だ。

ただし ―― ここは留保を一つ置く。プランク長が「これ以上は分割できない、証明された最小長さ」だと確かめた人は、まだ誰もいない。それ以下に長さが存在しないのか、時空が本当にそこで途切れるのか、時間が本当に離散化しているのか ―― どれも未確定だ。いま言えるのは、この付近で量子論と重力が同時に効きはじめ、「長さ」や「時間」という僕らの常識が通用しなくなると強く予想される、ということだけ。さっきの“ブラックホールに呑まれる”話も、確立した定理ではなく、有力な思考実験の一つにすぎない。だから「最小の単位」は、証明済みの事実じゃなく、よくできた比喩として受け取ってほしい。

最後に、出てきた二つを割ってみる。

$$\frac{L_p}{T_p} = \sqrt{\frac{\hbar G/c^3}{\hbar G/c^5}} = \sqrt{c^2} = c \quad\Longrightarrow\quad L_p = c\,T_p$$

“最小の単位”と呼んだプランク長は、光がプランク時間だけ進む距離に、ぴたりと等しい。空間と時間のプランク尺度は、別々のものじゃない。$c$ という同じ普遍定数（為替レート）で溶接されている ―― そう、いちばん最初に質量をエネルギーへ両替した、あの $c$ だ。

我々はついに、長さも時間も、同じ通貨（エネルギー）へと変換できた。ただし、誤解しないでほしい ―― 長さや時間そのものがエネルギーを“持っている”と分かったわけじゃない。分かったのは、長さや時間の尺度から、そこに関係しうる特徴的なエネルギーの目盛りを作れる、ということだ。空間や時間を、エネルギーという物差しで測れる ―― それだけでも、じゅうぶんワクワクするけれど。

となると、その物差しの先に、こんな問いが立つだろう。“空っぽの空間そのもの”は、エネルギーを持っているのか? 

長さや時間の尺度からエネルギーを引き出せるなら、何も入っていない時空（そこは真空であるが、時間と空間は存在する）にも、値札はつくのか ―― この問いが、中編（第4幕）で「真空のエネルギー」という正式な名前を得て、もっと大きな姿になって君の前に戻ってくる。

三つの定数と、単位のつじつま。それだけで、君は宇宙の底（最小）に触れた。

底に触れたなら、次は天井（最大）だ。宇宙の“天井”にあたる長さ ―― いちばん大きい側の代表スケール ―― は、どこにあるのか。それも同じ両替で掴める。そして宇宙の両端が出そろったとき、 冒頭で君に話した120桁のバケモノが登場してくる。

―― 中編『紙1枚で、最先端に追いつく』へ続く。

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補 足 ／ 「$\sim$」が気持ち悪い君へ

イコールじゃないの?

この記事では $=$ ではなく $\sim$（桁数が同じ、くらいの意味）を多用している。講座①の厳密な解法を通ってきた君なら、この“ゆるさ”が気持ち悪いはずだ。それでいい。

①や②で使った関係は、本当は係数を連れている。シュヴァルツシルト半径は正確には $r_s = 2Gm/c^2$ だし、不確定性関係にいたっては等式ですらなく「$\Delta x\,\Delta p \gtrsim \hbar/2$」という下限だ。①②はそれを全部わざと捨てているから、厳密には定数倍ずれたりもする。だから記号的には「およそ」なのだ。

ところが面白いことに、これから追う120桁の勝負では、捨てた係数は桁の海に溶けて消える。$2$ 倍や $10$ 倍など、$10^{120}$ の前では無いに等しいからだ。厳密さを捨てた武器が、宇宙最大のスケールでだけ、かえって強みになる。

もう一つ白状しておく。「単位から形が一つに決まる」と言ったが、正しくは掛け算・割り算だけの形（単項式）に限ればの話だ。$2\pi$ のような無次元の係数も、無次元量の関数も、次元解析は縛れない。出せるのは答えの“骨格”だけ ―― この限界こそ、後編で「次元解析は地図であって、答えではない」という話に化ける。いまはまだ、夢を見ていてよい。

【夏休み特集：超・高校物理①】 身を削ると光になれるのか？

「光速には追いつけない」。物理の授業でそう習う。理由を訊くと、たいてい「速くなるほど質量が重くなって、加速しにくくなるから」と返ってくる。間違いではない。でも、これはあまり美しくない。もっと本質に近い見方があって、しかもそれは、君がこれから自分の手で導ける。

一つの思考実験から始めよう。物理の入試問題だと思って読んでほしい。

問 題

宇宙空間に、質量 $m_0$ の球がある。この球は、自分自身の質量を少しずつ削り、 $E=mc^2$ の関係式で運動エネルギーに変えて飛んでいく

球が自分を削り尽くしたとき、その速さはいくらになるだろう？

どうだい？ワクワクする設問じゃないだろうか。

ただし、ちょっと設定が雑だった。もう少し精密にしよう。

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問 題

質量 $m_0$ の球が、宇宙空間に静止している。この球には物質と反物質が半分ずつ詰まっていて、内部で対消滅させると純粋な光（ガンマ線）が生じる。球はその光を真後ろへ噴射し、反動で前へ加速する。

球が質量を使い尽くしたとき、その速度はいくらになるか。
ただし球全体が燃料であり、燃え残る船体や積荷はない。

解くために必要な道具は、物理好きの高校生が理解可能な範囲でぜんぶ揃っている。使う量を先に並べておこう。すべて、最初に球が静止していた基準系で測る。

― 記号の定義 ―

$c$	光速（定数）
$m_0$	球の初期質量（$t=0$ で静止している）
$m$	ある瞬間の球の残り質量
$\mu = m/m_0$	残り質量の割合（$1$ から $0$ へ減っていく）
$\beta = v/c$	球の速さ（光速の何倍か）
$\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$	ローレンツ因子

相対論での球のエネルギーは $E=\gamma mc^2$、運動量は $p=\gamma m\beta c$。噴き出す光については、エネルギー $E_\gamma$ と運動量 $E_\gamma/c$ の関係を使う。用意はこれだけ。では解いてみてほしい。

第 1 幕

A君のあやうい解答

まずは軽く解いてみたというA君。エネルギーは保存するはずだ。最初、球は静止していて、そのエネルギーは $E=m_0c^2$。加速したあとも系のエネルギーは変わらない。だから、いつでも $\gamma mc^2 = m_0c^2$ が成り立つ。ここから、

$$\gamma = \frac{m_0}{m} = \frac{1}{\mu}$$

$\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$ と見比べれば $\sqrt{1-\beta^2} = \mu$、つまり、

$$\beta = \sqrt{1-\mu^2}$$

できた。$\mu \to 0$、すなわち質量を使い切ると $\beta \to 1$。速度は光速に収束する。式もすっきりしている。——さて。

皆さんは、こんな解答で満足しませんよね？

A君の解答は間違っている

これは、$E=mc^2$ を本気で受け止めた人ほど陥る、良いミスだ。「質量がエネルギーに変わっても、全体のエネルギーは保存される」――発想は正しい。見落としているのは、たった一つ。それが何か、次の幕で明らかにしよう。

第 2 幕

運動量は、どこへ行った

さっきの解答は、エネルギー保存だけで組み立てた。物理には、独立した保存則がもう一本ある。運動量保存だ。

最初、球は静止している。だから系全体の運動量は $p=0$。ところが前の解答の最終状態では、球は光速の $\beta$ 倍で前へ飛んでいる。その運動量は $\gamma m\beta c > 0$。

ゼロだったものが、正の値になっている。この運動量は、いったいどこから湧いてきたのか。おかしいよね。

摩擦のない氷の上に立っている自分を想像してほしい。体の中にどれだけエネルギーがあっても――筋肉でも、化学反応でも、$E=mc^2$ でも――何かを後ろへ投げない限り、前へは一ミリも進めない。捨てたものが持つ後ろ向きの運動量。その反動としてだけ、自分は前へ進める。

球も同じだ。前へ進んだのなら、必ず何かを後ろへ捨てている。では何を捨てたのか？それは、削った質量が化けた光にほかならない。第1幕の解答は、この後方へ飛び去る光の運動量を、まるごと忘れていた。

第 3 幕

正しく解く

さあ、やり直そう。
今度は保存則を二本とも立てる。噴き出した光の総エネルギーを $E_\gamma$ とおく。光は真後ろ（$-$方向）へ出るので、その運動量は $-E_\gamma/c$ だ。

エネルギー保存。初期の $m_0c^2$ が、球の残りエネルギー $\gamma mc^2$ と、捨てた光のエネルギー $E_\gamma$ に分かれる。

$$m_0 c^2 = \gamma m c^2 + E_\gamma$$

…(1)

運動量保存。初期はゼロ。球の前向きの運動量 $\gamma m\beta c$ と、光の後ろ向きの運動量 $-E_\gamma/c$ が、足してゼロになる。

$$\gamma m \beta c - \frac{E_\gamma}{c} = 0 \quad\Longrightarrow\quad E_\gamma = \gamma m \beta c^2$$

…(2)

あとは連立するだけだ。$(2)$ を $(1)$ に代入して、正体不明だった $E_\gamma$ を消す。

$$m_0 c^2 = \gamma m c^2 + \gamma m \beta c^2 = \gamma m c^2 (1+\beta)$$

両辺を $c^2$ で割って、$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{(1-\beta)(1+\beta)}}$ を代入する。

$$m_0 = \gamma m (1+\beta) = \frac{m(1+\beta)}{\sqrt{(1-\beta)(1+\beta)}} = m\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}$$

これを $\mu = m/m_0$ について整理すると、

$$\mu = \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}$$

最後に $\beta$ について解く。両辺を2乗して $\mu^2(1+\beta) = 1-\beta$、$\beta$ を左辺に集めて $\beta(1+\mu^2) = 1-\mu^2$。したがって、

$$\beta = \frac{1-\mu^2}{1+\mu^2}$$

…(5)

これが、この物体の運命を支配する式だ。

$\mu$ が $1$ から $0$ へ減るにつれ $\beta$ は $0$ から単調に増え、$1$ に下から近づいていく。

第 4 幕

結末 ―― 質量ゼロの速度

問題が問うているのは、質量を使い尽くした瞬間、つまり $\mu \to 0$ の速度だった。$(5)$ に入れる。

$$\beta = \frac{1-\mu^2}{1+\mu^2} \;\xrightarrow{\;\mu \to 0\;}\; \frac{1-0}{1+0} = 1$$

答

質量を持たなくなった球の速度の収束値は、ちょうど光速 $c$ である。

なぜ $c$ ぴったりで、$c$ 未満でも $c$ 超でもないのか。質量ゼロの粒子は、エネルギーと運動量の関係式 $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ に $m=0$ を入れて $E = pc$ を満たす。この関係を満たす存在は、相対論の要請により、常に $c$ でしか走れない。止まることも、$0.9c$ で漂うこともできない。存在すること自体が、光速で動くことと同義なのだ。だから収束先は $c$ に一つに決まる。

ここで、第1幕のあやうい解答を思い出してほしい。あれも $\mu \to 0$ で $\beta \to 1$ に行き着いた。結末は、正しい解答と同じだった。ではなぜ、わざわざ運動量まで立てて解き直したのか。その意味は、最後の幕でわかる。

第 5 幕

半分は、置いてきた

正しい式を手にした今、もう一つ問える。削った質量のエネルギーは、どこへ行ったのか。球自身に残るエネルギー $\gamma mc^2$ を、第3幕で得た $m_0 = \gamma m(1+\beta)$ から求めてみよう。

$$\gamma m c^2 = \frac{m_0 c^2}{1+\beta} \;\xrightarrow{\;\beta \to 1\;}\; \frac{m_0 c^2}{2}$$

前へ飛んでいく光が運ぶエネルギーは、元の静止エネルギー $m_0c^2$ の、きっかり半分だ。残りの半分 $m_0c^2/2$ は、後方へ噴いた排気の光として、宇宙に置き去りにされている。

さらに深い答え

速度は $100\%$ 光速に届く。だがエネルギーは、半分しか前へ行かない。もう半分は、加速の代金として後ろに捨てられている。

この認識は、A君の解答からは絶対に出てこない。エネルギー保存だけで解いた者は、$\beta \to 1$ という結末には辿り着けても、「半分は置いてきた」という真実にはたどり着けない。運動量まで正しく立てた者だけが、この表式を得る。

全力で何かに到達したとき、到達した自分は出発点の半分しか残っていない――
少し切ない話である。

---

結 び

保存量は、全部同時に立てろ

この問題でA君（あるいは第1幕の解答）がつまずいたのは、保存量が複数あるのに、一つだけで満足してしまったことだった。エネルギーは保存する。だが運動量も、独立に、同時に保存する。片方だけを立てて組んだ答えは、一見きれいに解けても、どこかで必ず綻ぶ。

これは相対論に限った話ではない。力学の二体衝突でも、電磁気でも、この先ずっと効く原則だ。相対論という派手な舞台でA君がうっかり忘れたのは、実のところ、力学の初歩で叩き込まれるはずの躾――「使える保存則は、全部同時に書け」――そのものだった。派手な問題ほど、基本が活きてくる。

補 足 ／ 双曲線関数を知る君へ

大学で待っている

今日は保存則を代入で連立して $(5)$ を導いた。高校の道具だけで完全に追える、正攻法だ。だが、もし君が双曲線関数 $\tanh$ を知っているなら――あるいは大学で出会うなら――この問題はもっと驚くほど簡潔な姿を見せる。

速度を $\beta = \tanh\phi$ という量 $\phi$（ラピディティと呼ぶ）で表すと、残り質量の割合はなんと $\mu = e^{-\phi}$ という指数関数になる。加速を重ねることは $\phi$ の足し算になり、多段ロケットも、行って戻る往復も、ただの加減算で扱えてしまう。$(5)$ の背後に隠れていた構造が、一気に見通せるようになる。

その導出は、ここには書かない。大学で待っている。

さようならグローバリスム

 結論から 

結論から申し上げると、グローバル主義はもはや時代に合わず、破綻しつつあります。これからの時代は、「共同体主義」が新たな潮流となるでしょう。

治安問題、少子化問題、人工知能との共存など、さまざまな課題に対する解決の糸口は、この共同体主義の中に見出せるのです。

 グローバル主義って  

まず、私が言う「グローバル主義」を定義します。

グローバル主義とは、通信技術や輸送の発展、金融市場のグローバル化、AIやITを含む科学の進歩を背景に、国境などのあらゆる「境界」を溶解させ、「個」に帰着させるものです。「個」と「地球全体（グローバル）」は一見対立する概念のようですが、実際には360度回って位相を同じくするものです。

そして、単一のモノサシであるグローバルスタンダードや人間の評価指標を用いて、すべてを統制しようとするのです。

 一時的な成功  

グローバル主義は、当初こそ成功しているかのように見えました。

私自身も期待していました。しかし、それは過去の蓄積を食い潰し、偶然にバランスが取れていた一時的な成功に過ぎませんでした。

その魔法が解けると、多国籍企業による課税逃れ、富の一極集中、治安の悪化、非婚化・少子化の進行、Chinaの覇権主義による平和の脅威、政治腐敗とインフレなど、数々の問題が浮上しました。

これらはすべて、文明の病と言えるでしょう。結局、単一のモノサシで人間を測ることなどできないのです。

 注目するのは「共同体」  

そこで私が注目するのは「共同体」です。

ここで共同体を定義しましょう。共同体とは、友人、家族、地域、職場、国、文化圏、経済ブロックなど、小さなものから大きなものまで、境界が多層的に重なり合っているものです。

これは前近代への回帰ではなく、グローバリズムを脱ぎ捨てた次の段階として存在します。共同体の変更や移動に拘束はなく、境界は保たれながら価値観を共有し、互いに尊重し合って共存するのです。個性は尊重され、共同体の中で自然に育まれます。

個人を評価する画一的なモノサシは存在せず、グローバリズムこそが没個性を生み出していたのです。地域や文化の境界があるからこそ、初めて交流（国際化）に意味があり、グローバルであることに魂が宿るのです。 　

 限界を悟ること   

また、境界を意識することは、己の知恵に限界を悟ることでもあります。機械やAIに脅威を感じるのは、グローバリズム的な視点で、科学の無限性を信じることが原因です。共同体的な思考で考えれば、どこかで折り合いがつくのは自明です。シンギュラリティなどというものは幻想に過ぎません。

さあ、グローバリズムの「際限のない」夢から醒めましょう。夢から覚めれば、限界に安心できるのです。科学は人間の生活の一部に過ぎず、お金は価値交換の手段に過ぎません。自由が確保できるだけあれば、それで十分なのです。

 未来に向けて   

最初に述べた文明の病も、共同体の復活によって徐々に融解させることができるはずです。そのためには、グローバルな思考やグローバルな暴挙を止める機運が必要です。

これからの時代に求められるのは、共感と連帯による共同体主義です。私たちは、地域社会や文化を大切にし、そこから始まる新たな価値観を育んでいくべきなのです。

さようなら、グローバリズム。

こんにちは、みんな。

 　 

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